hoy trataremos el tema de técnicas de conteo.
Conteo
Regla del producto.
Si un procedimiento se puede descomponer en dos etapas y si existen m resultados posibles de la primera etapa, y para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de m.n formas.
Ejemplo1.-Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. El director puede elegir a la pareja principal de 6.8 = 48 formas.
Esta regla también puede ampliarse a más de dos etapas.
2.-Si las placas de los automóviles constan de 2 letras seguidas de 4 dígitos, y ninguna letra o dígito se puede repetir, ¿cuántas placas diferentes son posibles?
27.26.10.9.8.7 = 3.538.080.
Si se pueden repetir las letras y los dígitos, serán posibles 27.27.10.10.10.10 = 7.290.000 placas diferentes.
Regla de la suma
Si una primera tarea puede realizarse de m formas y una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces para realizar cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas.
Ejemplo
Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.
(Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o filosofía.)
La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ningún par de ellas pueda ocurrir simultáneamente.
Factorial
Para un entero n >= 0, se define n! (n factorial) como:
0! = 1
n! = n(n-1)(n-2)...3.2.1 para n >= 1
Notar que n! = n(n-1)!
Dado un conjunto de n elementos, se denomina permutación a cada uno de los conjuntos que se pueden formar con estos elementos tales que cada uno de ellos difiere de otro en el orden en que son considerados los elementos.Dicho de otro modo, dada una colección de n objetos distintos, cualquier disposición lineal de estos objetos se denomina permutación de la colección. Pongamos un ejemplo: un grupo de 5 personas va a sentarse en fila para una foto. ¿Cuántas disposiciones lineales son posibles?
5 4 3 2 1
------ ------ ------ ------ ------
1a pos 2a pos 3a pos 4a pos 5a pos
------ ------ ------ ------ ------
1a pos 2a pos 3a pos 4a pos 5a pos
Cualquiera de las 5 personas puede ocupar la primera posición de la fila. Para la segunda posición podemos elegir entre 4 personas. Continuando de esta manera, sólo tenemos una persona para ocupar la quinta posición. Esto produce un total de 5.4.3.2.1 = 120 disposiciones posibles de las 5 personas. Se obtiene exactamente la misma respuesta si las posiciones se ocupan en otro orden (por ejemplo, 3ª posición, 1ª posición, 4ª, 5ª y 2ª).
En general, si existen n objetos distintos, el número de permutaciones para los n objetos es:
n(n-1)(n-2)...1 = n!
Ejemplo.
Dadas las letras a, b, c existen seis formas de disponerlas: P3 = 3! = 3.2.1 = 6.Las seis permutaciones son:
a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a
Actividades:
1.- Análisis de las diapositivas.
2.- Elaborar un album, copiando los problemas escritos con color azul, elaborar diagramas o escribir fórmulas para las soluciones y agregarle esquemas.
3.- No se le olvide agragarle la portada y contemplar la firma del tutor de enterado.
4.- Entregarlo en tiempo y forma.
